Numeros curiosos (2)

Buceando un poco por internet me entero de que esos números se llaman Números Narcisistas.
Me he pasado estos últimos días pensando sonbre estos números tan curiosos.
Primero ataqué el problema por la fuerza bruta: usando Excel busqué todos los números narcisistas de dos cifras y no me salí ninguno. Tal como son las cosas en matemáticas en el siglo XXI, esto serviría como demostración, pero desde un enfoque clásico a mi no me termina de convencer, así que me puse a buscar una demostración algebraica y creo que la tengo.
Veamos: el número ab tiene que ser tal que:

ab=a²+b²

pero ab en realidad significa 10a+b, luego:

10a+b=a²+b²

si separamos las a's de las b's tenemos que:

10a-a²=b²-b

que si sacamos factor común se queda así:

a(10-a)=b(b-1)

Se trata ahora de demostrar que no existen dos números a y b que puedan cumplir esa fórmula.
La parte de la derecha siempre es un número par, puesto que estamos multiplicando dos números consecutivos (b y b-1).
Vamos a ver que ocurre con la parte de la izquierda.
Un número par sale de multiplicar un par por un impar o dos pares. Si a es par entonces la parte de la izquierda es par. Si a es impar , entonces 10-a tambien es impar y el producto a(10-a) tambien será impar.
O sea, que forzosamente a debe ser un número par. a=2, a=4, a=6, a=8
Pero
si a=2 entonces a(10-a)=16 que no se puede poner como producto de dos numeros consecutivos.
si a=4 entonces a(10-a)=24 que no se puede poner como producto de dos numeros consecutivos.
si a=6 entonces a(10-a)=16. Mismo caso que a=4.
si a=8 entonces a(10-a)=24. Mismo caso que a=2.
En definitiva, que esa fórmula es imposible, y por lo tanto no existen números narcisistas de dos cifras.
Sobre los de tres cifras, con Excel (fuerza bruta) he conseguido encontrar cuatro números narcisistas de cuatro cifras: 153, 370, 371 y 407. Creo que no hay más.
Sigo trabajando sobre lo números de cuatro cifras y siguientes.