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El problema de las tres puertas - Solución (al fin)

sábado, 2 de diciembre de 2006

Esto se ha retrasado un poco, pero los últimos acontecimientos me han tenido un poco ocupado.
Vamos con la solución al problema de las tres puertas.
El error más común que se comete al enfrentarse a este problema es desdeñar la información que nos ofrece la experiencia. Cuando se nos da la opción de cambiar, todo el mundo tiende a pensar que se trata de un problema nuevo, que consiste en que tengo dos puertas y debo decidirme por una de las dos. (en ese caso si que daria igual cambiar que no).
Pero el problema es otro:
Para no liarnos vamos a llamar a las puertas A, B y C. El presentador te deja elegir y eliges A.
Si te abre la puerta B y te da la opción de cambiar, lo que te está ofreciendo es cambiar tu puerta por las otras dos (una de las cuales está abierta, y tu ya sabes que el premio no está allí), así que la probabilidad de acertar es doble si cambias de puerta.
Hay otra forma de ver esto:
Imagina que le sorteo de la Loteria de Navidad ya se ha celebrado y todos los décimos están en un montón sobre la mesa. Eliges uno y te lo quedas. Si el presentador te da la opción de quedarte con el tuyo o con todos los demás, ¿qué harías?
Ahora, imagina que antes de darte la opción de cambiar saca uno y dice: "este no tiene premio" y lo rompe. ¿Qué prefieres, tu billete o todos los del motón?.
Hace esto miles (millones) de veces, hasta que solo quedan dos billetes en el montón, rompe uno diciendo: "este no tiene premio" y te ofrece elegir entre tu billete o el que queda sobre la mesa.
¿Cual te parece que tiene más posibilidades de tener le premio?
Moraleja: Antes de decidir evalua toda la información de la que dispones. No desdeñes ningún dato.

16 Responses to "El problema de las tres puertas - Solución (al fin)"

Witilongi Says:

Con 100 puertas la gente lo entiende mejor no sé por qué. Debe ser porque la probabilidad de ganar es casi segura.

UrkDen Says:

Esto que apuntas como solución es intentar hacer creer que se pueden sumar probabilidades y esto no es así.

Si en lugar de tres puertas fueran 4 y la que abre el presentador (D) está igualmente vacía, la probabilidad de que la tuya (A) sea la del premio es ahora mayor que en el primer caso (1/3 frente a 1/4) pero igual a la probabilidad de que sea cualquier otra. Tanto (B) como (C) tienen ahora (1/3) y por mucho que te permitan cambiar no te dejarán abrir las dos así que no podrás sumar la probilidad de que sea una de las otras (2/3) frente a la posibilidad de que sea la tuya por que tu elección es única.

Tal como planteas el problema estás mezclando conceptos. En el caso de 3, 5, 20 o 100 millones de puertas. Si sólo puedes escoger una siempre tendrás la misma probabilidad de acertar elijas la que elijas.

Manuel Valdepeñas Says:

Siento disentir, Pensador Borroso.

Claro y evidente es que de la posición 1 a la posición 2 pasas a un estado de probabilidad mucho mejor. Mientras que en la situación 1 tenías un 33,3 por ciento de acertar y un 66'6 restante de fallar, en la situación 2 te encuentras con una clara ventaja: pasas a un 50 por ciento de posibilidades de acertar (mayor que en situación 1) y a un 50 de fallar (menor que en situación 1). Recalco: en la nueva situación tienes más posibilidades de acertar y menos de fallar que en la situación anterior.

Pero el hecho de que lo tengas más fácil ahora que antes, o el hecho de durante 100 veces lo tengas cada vez más fácil, para nada implica que tengas que elegir la puerta C con mayor posibilidad de éxito. Rotundamente, elijas la puerta A o elijas la puerta C, tienes la misma posibidad de acertar: un 50 por ciento (en este caso la misma que de fallar).

UrkDen Says:

Había hecho el comentario después de leer el problema tal y como lo planteaste al principio. No emncionabas el detalle importante de que el presentador SABE la puerta que tiene el premio. Y lo que intenta es confundir al concursante. Se da por hecho que si el jugador cambia PIERDE el premio.

Aquí lo que parece contar el el conocimiento del presentador y eso no lo conocíamos.

UrkDen Says:

Después de darle dos vueltas más, he llegado a la conclusión de que el planteamiento de este problema falla básicamente en olvidar que estamos tratando con las probabilidades de forma errónea por que no tenemos en cuenta que el concepto de "certeza" elimina toda probabilidad.

Tu probabilidad de acertar la puerta correcta en estos casos es siempre la misma (siempre y cuando el presentador abra el resto de puertas sin premio menos 1) un 50%.

Básicamente el presentador introduce en su movimiento un nuevo concepto que se olvida en todos estos planteamientos de forma reduccionista. Si el presentador abre las restantes puertas menos 1 te está dando la certeza de que ahí no está el premio. En la wikipedia y aquí enrevesaís mucho con frases como: "así que la probabilidad de acertar es doble si cambias de puerta". Lamentablemente la probabilidad no es el doble de antes, mejoran tus probabilidades por que se eliminan opciones. Él que piensa que es un problema nuevo acierta por que lo es (si no sabe la jugada que va a hacer el presentador, en cuyo caso sabe que aunque haya 1000 puertas al final serán sólo 2 y una tendrá el premio). La información que tenemos es precisamente que tenemos que eliminar lo que sabíamos antes por que las reglas ya no son iguales.

Anónimo Says:

Quedándote con la primera elección o cambiando a la puerta restante las probabilidades de acertar son exactamente las mismas: 50%.

El paralelismo de las 100 puertas no es válido: no es lo mismo cambiar un 50% por un 50% que cambiar un 1% por un 98%...

Anónimo Says:

Sería interesante dividir el problema en cinco clases:
1º Las reglas del concurso prohíben cambiar la opción inicial.
2º Se permite cambiar la opción inicial y el concursante decide seguir con la puerta elegida inicialmente.
3º Se permite cambiar la opción inicial. El concursante decide elegir a cara o cruz entre las dos puertas que siguen cerradas.
4º El concursante decide (voluntariamente) cambiar su elección inicial.
5º Las reglas del concurso obligan al concursante a cambiar la opción inicial.

Pensador Borroso Says:

Ya sabia yo que esto de las puertas iba a traer cola. La primera vez que tuve noticia de este problema tenia yo 19 años y estaba en 2º de carrera. Recuero que me pasé todo el curso discutiendo con mis amigos (matemáticos todos ellos)sobre las dichosas puertas. Yo tambien pensaba que la probabilidad tras abrirse la segunda puerta es del 50%, pero creer eso es dar por hecho que el problema comienza cuando te dan la opción de cambiar, y esto no es así.
Para entender que siempre es mejor cambiar plantearos la probabilidad de que el premio NO ESTÉ en vuestra puerta.
Y otra cosa: se pueden sumar probabilidades, siempre que sean sucesos incompatibles.

Blacky Says:

Lo mejor para ver la solución es aplicar el algoritmo siguiente:
Tenemos 3 puertas y elegimos una, la A por ejemplo. El Presentador abre la puerta que no tiene el premio. Y cambiamos de puerta.

Miremos ahora las posibilidades que hay. Si no cambiamos, nos da lo mismo que cambiemos o no de puerta. Tenemos una posibilidad entre tres de acertar.

Si cambiamos, tenemos dos posibilidades:
1.- La primera opción era la acertada, con lo que al cambiar, perdemos.
2.- Si no elegimos bien al inicio, al cambiar acertamos y ganamos.

Bien, con esto en mente, ¿cual es la probabilidad de no acertar al inicio la puerta? pues 2 entre 3.

Por tanto, cambiar de puerta SIEMPRE tiene 2 posibilidades entre 3, es decir, un 0.66666666

Espero haber ayudado a entenderlo.

UrkDen Says:

Pus francamente no ayudas a entenderlo sino que te lias tu también.

[¿Cuál es la probabilidad de "no acertar" al inicio la puerta?]

Correcto 2 / 3

[Cambiar de puerta SIEMPRE tiene 2 posibilidades entre 3]

Falso. Cambias de puerta por que la puerta que se abre NO tiene premio. Por lo tanto tu opción se reduce a dos puertas y puedes escoger sólo 1 así que la probabilidad es de 1 / 2.

P.D.: Estoy redactando una guía más completa con el planteamiento que se hizo del problema en esta página, el que aparece en la wikipedia y el original en inglés para evitar los calentamientos de cabeza que más de uno tendrá al intentar entender lo que se pretende y lo que en realidad es.

Anónimo Says:

A ver, dejaros de algoritmos, yo soy de letras y creo que es muy facil de entender, la probabilidad de elegir una puerta vacia es de 2/3, la probabilidad de elegir el premio es de 1/3... Si eliges una puerta sin premio (2/3) y luego cambias... GANAS!
Si eliges una puerta con el premio (1/3) y cambias... PIERDES!
Es decir, cambiando siempre de puerta, la probabilidad de ganar es 2/3, y la de perder 1/3

Para los que siguen comiendose la cabeza, un amigo izo un programa que simulaba este juego, y el programa siempre cambiaba de puerta, izo rular el programa un millon de veces.... y a que no sabes cuantas gano ? 2/3 de las veces :P , la informatica no falla!

Rebeca Says:

Creo que tengo manera más clara de mostrar que la puerta C tiene más probabilidades: Supongamos que son dos concursantes: tú eliges la puerta A y yo la B Y la C. Tú tienes 1/3 de prob de ganar y yo 2/3. Luego te muestro que una de mis puertas está vacía (lo cual no aporta nada, pues ya lo sabías). Sigo teniendo el 2/3. ¿cambiamos de puerta?

Cristián Says:

Lo de 100 puertas no me ayudó mucho, pero quiero proponer otras formas de verlo.

Primero, digamos que una vez que te ofrecen cambiar de puerta, tú piensas: "si estuviera en la puerta correcta, tendría que quedarme, y si estuviera en la equivocada tendría que cambiar".
ahora, ¿qué es más probable, que esté en la correcta o una equivocada?

Y como lo más probable es que estés en una incorrecta, deberías cambiar.


Otra forma de verlo, basada en la de Rebeca: Digamos que yo te ofrezco cambiar de puerta antes de mostrarte la puerta vacía. Pero te ofrezco quedarte con las otras dos puertas.
Osea, tú elegiste la puerta uno. Y yo te digo "quieres quedarte con las puertas 2 y 3 en vez de la 1? Tú me dices que bueno, porque 2 puertas es mejor que una. Y entonces yo te digo que la 3 no era.
Claro que puede ser que la original haya sido, pero siempre es preferible elegir 2.

Prueben hasta convencerse, y si no pueden aún, hagan un programa. Yo lo hice en matlab en unas 30 líneas, y sin duda se puede en menos. El programa rápidamente converge a la solución 2/3. Si alguien necesita una mano entendiendo esto, que postee d vuelta.

Anónimo Says:

Creo que el que ha estado más cerca de entender el problema es blacky. El resto debe preguntarse ¿por qué el hecho de abrir una puerta no cambia las probabilidades iniciales?
La respuesta es que el otro está condicionado a abrir una puerta donde no está el premio.
Siguiendo la lógica de blacky,¿cual es la probabilidad de elegir una puerta sin premio?
La respuesta es 2/3. Si estamos en esta condición, es decir la puerta elegida no tiene el premio, la otra persona está obligada a abrir la puerta donde no está el premio. Pues entonces sólo quedará la puerta con el premio. Es decir, si cambiamos, ganamos con probabilidad 1, ya que la puerta que elegí no tenía el premio y la que abrió la otra persona tampoco. Luego cambio y gano. Todo esto pasa con probabilidades 2/3.
Si por mala suerte elijo la puerta que tiene el premio, la otra persona puede abrir cualquiera de las dos puertas restantes. Ahora si elijo cambiar, pierdo, ya que estaba en la puerta correcta. Pero esto pasa con probabilidad 1/3.
Es decir, si mi respuesta es "cambio de puerta" es más probable que gane, ya que la probabilidad de haber estado equivocado al principio es mucho más alta.

Junto con esto quiero hacerles dos preguntas más:
¿qué es una probabilidad?
¿qué es una variable aleatoria?
El saber estas respuestas hace plantearse de mejor manera los problemas, ya que siempre que veo soluciones como estas nunca veo un espacio de probabilidad asociado.
(Ni siquiera en mi respuesta)

Anónimo Says:

tienes una probabilidad de 2/3 de ganar si cambias de puerta ya que el espacio muestral no cambia al abrir una puerta, y todo se reduce a que como los sucesos son independientes te da igual saber que una puerta no tiene premio, xq eso ya lo sabias.

Llamamos X=(1,2,3) puerta aleatoria q tiene premio

Y=(1,2,3) puerta que elige el concursante.

X, Y son independientes

M =( 1,2,3) la puerta que abre el presentador siempre sin premio.

Probabilidad de ganar si te quedas con tu puerta inicial

P[(X=Y)/M]=P(X=Y)=1/3 teorema de la probabilidad total cuando los sucesos son independientes

probabilidad de ganar cuando te cambias de puerta

P[(X<>Y)/M]= 1-P(X=Y)= 2/3

Anónimo Says:

La clave es que el presentador abre la puerta vacía, no una al azar.

por lo tanto si fueran 100 puertas y tu eliges 1 y del resto (99) te abren 98 que seguro no tienen premio, cambias?

la clave es que si el presentador abre al azar puertas hasta que quedan 2 es un 50% contra 50%, pero como no lo hace al azar, si no que abre las vacías se queda en un 1% contra 99%